Математичний блог: Теорема Вієта

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета, и предлагается ряд примеров для отработки этой темы.

Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.

Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения

с помощью теоремы Виета:

записать утверждение теоремы Виета

(*)

(первым равенством рекомендуется записывать произведение корней);

определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи (*);
из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;
указать в ответе найденные корни уравнения.

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом. А работать с подбором дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде

. Введем новую переменную

и получим приведенное квадратное уравнение

, корни которого

(при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут

. Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение

очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас. При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения.

Решите уравнение

Решение

Составим вспомогательное уравнение

и по теореме Виета найдем его корни

. А значит, корни исходного уравнения

Ответ:

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен

. Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен

. Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.